Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função no intervalo . Isso significa que vamos encontrar as séries de Fourier usando apenas senos e apenas cossenos para representar essa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas das séries de Fourier de seno e cosseno e calcular os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Vamos começar com o desenvolvimento em cossenos, ou seja, a série de Fourier cosseno. A série cosseno é útil quando a função é estendida de forma par em relação ao eixo . A fórmula geral para a série de Fourier cosseno de uma função no intervalo é:
Onde os coeficientes são dados por:
No nosso caso, , então as fórmulas ficam mais simples.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o coeficiente :
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Para resolver essa integral, vamos separar em duas partes:
Essas integrais podem ser resolvidas por integração por partes. Vou pular os detalhes dos cálculos para não deixar a resposta muito longa, mas essencialmente, após resolver as integrais, obtemos:

Passo 5

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier cosseno para no intervalo fica:

Passo 6

Agora, vamos para o desenvolvimento em senos, ou seja, a série de Fourier seno. A série seno é útil quando a função é estendida de forma ímpar em relação ao eixo . A fórmula geral para a série de Fourier seno de uma função no intervalo é:
Onde os coeficientes são dados por:
Novamente, com .

Passo 7

Vamos calcular os coeficientes :
Assim como antes, vamos separar em duas partes:
Essas integrais também são resolvidas por integração por partes. Após os cálculos, encontramos:

Passo 8

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier seno para no intervalo fica:

Resposta

Então, os desenvolvimentos de meio-intervalo em cossenos e senos para a função no intervalo são:
Série de Fourier Cosseno:
Série de Fourier Seno:

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