Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função
no intervalo
. Isso significa que vamos encontrar as séries de Fourier usando apenas senos e apenas cossenos para representar essa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas das séries de Fourier de seno e cosseno e calcular os coeficientes correspondentes.
Passo 2
Vamos começar com o desenvolvimento em cossenos, ou seja, a série de Fourier cosseno. A série cosseno é útil quando a função é estendida de forma par em relação ao eixo
. A fórmula geral para a série de Fourier cosseno de uma função
no intervalo
é:
Onde os coeficientes
são dados por:
No nosso caso,
, então as fórmulas ficam mais simples.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Para resolver essa integral, vamos separar em duas partes:
Essas integrais podem ser resolvidas por integração por partes. Vou pular os detalhes dos cálculos para não deixar a resposta muito longa, mas essencialmente, após resolver as integrais, obtemos:
Passo 5
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier cosseno para
no intervalo
fica:
Passo 6
Agora, vamos para o desenvolvimento em senos, ou seja, a série de Fourier seno. A série seno é útil quando a função é estendida de forma ímpar em relação ao eixo
. A fórmula geral para a série de Fourier seno de uma função
no intervalo
é:
Onde os coeficientes
são dados por:
Novamente, com
.
Passo 7
Vamos calcular os coeficientes
:
Assim como antes, vamos separar em duas partes:
Essas integrais também são resolvidas por integração por partes. Após os cálculos, encontramos:
Passo 8
Com os coeficientes
calculados, a série de Fourier seno para
no intervalo
fica:
Resposta
Então, os desenvolvimentos de meio-intervalo em cossenos e senos para a função
no intervalo
são:
Série de Fourier Cosseno:
Série de Fourier Seno:
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