Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada. Isso está relacionado à análise de séries de Fourier, que nos ajuda a expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para meio-intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função
definida por:
Essa função é definida no intervalo de 0 a 1 e possui um salto em
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com um meio-intervalo, consideramos funções definidas em um intervalo de comprimento
, onde
. As séries de Fourier em meio-intervalo podem ser desenvolvidas usando apenas senos ou apenas cossenos, dependendo das condições de simetria ou periódicas da função.
Passo 4
Para essa função, como ela não é necessariamente par ou ímpar, podemos optar por expandi-la tanto em senos quanto em cossenos. Vamos começar encontrando os coeficientes da s��rie de senos.
Passo 5
Os coeficientes da série de senos são calculados pela fórmula:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Vamos calcular
:
Como
de 0 a
, a primeira integral desaparece:
Passo 7
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 8
Portanto, os coeficientes da série de senos são:
Resposta
A expansão da função
em série de senos no meio-intervalo é dada por:
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