Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada. Isso está relacionado à análise de séries de Fourier, que nos ajuda a expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para meio-intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função definida por:
Essa função é definida no intervalo de 0 a 1 e possui um salto em .

Passo 3

Como estamos trabalhando com um meio-intervalo, consideramos funções definidas em um intervalo de comprimento , onde . As séries de Fourier em meio-intervalo podem ser desenvolvidas usando apenas senos ou apenas cossenos, dependendo das condições de simetria ou periódicas da função.

Passo 4

Para essa função, como ela não é necessariamente par ou ímpar, podemos optar por expandi-la tanto em senos quanto em cossenos. Vamos começar encontrando os coeficientes da s��rie de senos.

Passo 5

Os coeficientes da série de senos são calculados pela fórmula:
Substituindo , temos:

Passo 6

Vamos calcular :
Como de 0 a , a primeira integral desaparece:

Passo 7

Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 8

Portanto, os coeficientes da série de senos são:

Resposta

A expansão da função em série de senos no meio-intervalo é dada por:

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