Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função definida de forma diferente em dois intervalos: de a e de a . O enunciado pede para termos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para essa função. Isso significa que vamos encontrar a série de Fourier usando apenas termos de seno ou apenas termos de cosseno para representar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Ela é zero no primeiro intervalo e uma reta crescente no segundo. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier usando integrais específicas para séries de seno e cosseno.

Passo 3

Vamos começar com a série de Fourier de senos. Isso é útil quando a função é estendida de forma ímpar em torno de .
Os coeficientes são dados por:
Como de a , a integral simplifica para:

Passo 4

Resolvendo a integral:
Vamos calcular cada parte separadamente usando integração por partes.

Passo 5

Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes . A série de Fourier de senos fica:
Onde são os coeficientes calculados.

Passo 6

Agora, vamos para a série de Fourier de cossenos. Isso é útil quando a função é estendida de forma par em torno de .
Os coeficientes são dados por:
Novamente, como de a , a integral se reduz a:

Passo 7

Resolvendo essa integral da mesma forma que fizemos para os senos, obtemos os coeficientes . A série de Fourier de cossenos fica:
Onde são os coeficientes calculados.

Resposta

Assim, encontramos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada, representados pelas séries de Fourier de senos e cossenos com os coeficientes e calculados nos passos anteriores.

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