Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
definida de forma diferente em dois intervalos: de
a
e de
a
. O enunciado pede para termos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para essa função. Isso significa que vamos encontrar a série de Fourier usando apenas termos de seno ou apenas termos de cosseno para representar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Ela é zero no primeiro intervalo e uma reta crescente no segundo. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier usando integrais específicas para séries de seno e cosseno.
Passo 3
Vamos começar com a série de Fourier de senos. Isso é útil quando a função é estendida de forma ímpar em torno de
.
Os coeficientes
são dados por:
Como
de
a
, a integral simplifica para:
Passo 4
Resolvendo a integral:
Vamos calcular cada parte separadamente usando integração por partes.
Passo 5
Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes
. A série de Fourier de senos fica:
Onde
são os coeficientes calculados.
Passo 6
Agora, vamos para a série de Fourier de cossenos. Isso é útil quando a função é estendida de forma par em torno de
.
Os coeficientes
são dados por:
Novamente, como
de
a
, a integral se reduz a:
Passo 7
Resolvendo essa integral da mesma forma que fizemos para os senos, obtemos os coeficientes
. A série de Fourier de cossenos fica:
Onde
são os coeficientes calculados.
Resposta
Assim, encontramos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função
dada, representados pelas séries de Fourier de senos e cossenos com os coeficientes
e
calculados nos passos anteriores.
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