Um sistema é constituído por 5 componentes
e
dispostos em série de forma linear. Cada componente que integra o sistema deve se encontrar ativo em uma, e somente uma, dentre as três seguintes posições:
ou
.
Sistema
Sistema
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Se uma, e somente uma, dentre as posições
ou
é ativada em cada componente, de forma equiprovável, determine a probabilidade de que o sistema apresente exatamente 3 componentes ativos na posição
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema com 5 componentes (C₁, C₂, C₃, C₄ e C₅) alinhados em série. Cada componente pode estar em uma de três posições: ⊖, ⊙ ou ⊕. Cada posição tem a mesma chance de ser escolhida. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de exatamente 3 desses componentes estarem na posição ⊕.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial. Mesmo que tenhamos três opções para cada componente, estamos interessados apenas em duas coisas: estar na posição ⊕ ou não estar na posição ⊕. Assim, podemos simplificar o problema.
Passo 3
Primeiro, calculamos a probabilidade de um único componente estar na posição ⊕. Como há três posições igualmente prováveis, essa probabilidade é:
Passo 4
A probabilidade de um componente não estar na posição ⊕, ou seja, estar em ⊖ ou ⊙, é:
Passo 5
Agora, queremos que exatamente 3 dos 5 componentes estejam na posição ⊕. Para isso, usamos a fórmula da combinação para escolher quais 3 componentes serão essas:
Passo 6
A probabilidade de 3 componentes estarem em ⊕ e os outros 2 não estarem é dada por:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que o sistema apresente exatamente 3 componentes ativos na posição ⊕ é
, aproximadamente 0,1646 ou 16,46 %.