Um sistema é constituído por 5 componentes C1, C2, C3, C4 e C5 dispostos em série de forma linear. Cada componente que integra o sistema deve se encontrar ativo em uma, e somente uma, dentre as três seguintes posições: ominus, odot ou oplus.
Sistema
C1 C2 C3 C4 C5
oplus oplus oplus oplus oplus
odot odot odot odot odot
ominus ominus ominus ominus ominus
Se uma, e somente uma, dentre as posições ominus, odot ou oplus é ativada em cada componente, de forma equiprovável, determine a probabilidade de que o sistema apresente exatamente 3 componentes ativos na posição oplus.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema com 5 componentes (C₁, C₂, C₃, C₄ e C₅) alinhados em série. Cada componente pode estar em uma de três posições: ⊖, ⊙ ou ⊕. Cada posição tem a mesma chance de ser escolhida. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de exatamente 3 desses componentes estarem na posição ⊕.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial. Mesmo que tenhamos três opções para cada componente, estamos interessados apenas em duas coisas: estar na posição ⊕ ou não estar na posição ⊕. Assim, podemos simplificar o problema.

Passo 3

Primeiro, calculamos a probabilidade de um único componente estar na posição ⊕. Como há três posições igualmente prováveis, essa probabilidade é:

Passo 4

A probabilidade de um componente não estar na posição ⊕, ou seja, estar em ⊖ ou ⊙, é:
ã

Passo 5

Agora, queremos que exatamente 3 dos 5 componentes estejam na posição ⊕. Para isso, usamos a fórmula da combinação para escolher quais 3 componentes serão essas:
úçõ

Passo 6

A probabilidade de 3 componentes estarem em ⊕ e os outros 2 não estarem é dada por:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de que o sistema apresente exatamente 3 componentes ativos na posição ⊕ é , aproximadamente 0,1646 ou 16,46 %.

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