Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para diferenciarmos a função
. Vamos usar as regras básicas de diferenciação, especificamente a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função multiplicando outra função. Para isso, precisamos saber derivadas de funções polinomiais e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Produto: se
, então a derivada
é:
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
, a derivada de
. Para isso, usamos a Regra do Quociente:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na Regra do Quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, a derivada de
:
Passo 6
Aplicando a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais. Notamos que:
Então, a soma fica:
Passo 8
Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando tudo:
Passo 9
Finalmente, a derivada simplificada é:
Resposta
A derivada da função é
.