Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
19 f(x) = ((x^2 + x) / (1 - 2 x))^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a regra da cadeia. A gente vai calcular a derivada da função . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia e também derivar funções racionais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor a cadeia. Aqui, temos uma função externa elevada à quarta potência e uma função interna que é uma fração. Vamos chamar a parte externa de e a interna de :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra do poder, a derivada de é:

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar em relação a . Para isso, vamos derivar a fração usando a regra do quociente, que diz que se , então:
onde e .

Passo 5

Calculando as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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