Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a regra da cadeia. A gente vai calcular a derivada da função
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia e também derivar funções racionais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor a cadeia. Aqui, temos uma função externa elevada à quarta potência e uma função interna que é uma fração. Vamos chamar a parte externa de
e a interna de
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usando a regra do poder, a derivada de
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos derivar
em relação a
. Para isso, vamos derivar a fração
usando a regra do quociente, que diz que se
, então:
onde
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
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:
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.