Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = (x^2)^x

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular a derivada de usando a derivada de logaritmo. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Como a função tem a variável no expoente e na base, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural para simplificar a expressão. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para multiplicar pelo logaritmo, temos:

Passo 4

Sabemos que . Substituindo essa relação na equação, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é devido à regra da cadeia:

Passo 6

Calculando a derivada do lado direito, aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Igualando as derivadas dos dois lados, temos:

Passo 8

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados da equação por :

Passo 9

Substituindo na equação, obtemos:

Resposta

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