Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular a derivada de
usando a derivada de logaritmo. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
Como a função tem a variável no expoente e na base, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural para simplificar a expressão. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para multiplicar pelo logaritmo, temos:
Passo 4
Sabemos que
. Substituindo essa relação na equação, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
devido à regra da cadeia:
Passo 6
Calculando a derivada do lado direito, aplicamos a regra do produto:
Passo 7
Igualando as derivadas dos dois lados, temos:
Passo 8
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Passo 9
Substituindo
na equação, obtemos:
Resposta
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, sendo
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: