Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
20 . f(t) = ((1 + t^2) / (1 - t^2))^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Aqui, vamos usar o conceito de derivação de funções compostas, que é essencial para aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta. Temos uma função externa que é algo elevado à quinta potência e uma função interna que é uma fração . A regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos chamar a função interna de . Então, nossa função fica . Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente, já que é uma fração:
A regra do quociente diz que:
Calculando as derivadas das funções no numerador:
Substituindo de volta:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo de volta:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão combinando os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, temos a derivada completa:

Resposta

A derivada da função é:

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