Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
usando a regra da cadeia. Aqui, vamos usar o conceito de derivação de funções compostas, que é essencial para aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função composta. Temos uma função externa que é algo elevado à quinta potência e uma função interna que é uma fração
. A regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos chamar a função interna de
. Então, nossa função fica
. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Para isso, usamos a regra do quociente, já que
é uma fração:
A regra do quociente diz que:
Calculando as derivadas das funções no numerador:
Substituindo de volta:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
de volta:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão combinando os denominadores:
Isso simplifica para:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, temos a derivada completa:
Resposta
A derivada da função
é:
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