Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = ln(sen x) - (x^4 - 3x)^10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de usando a Regra da Cadeia. Isso faz parte das aulas de cálculo, especificamente no tópico de derivadas. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções que estão dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
Vamos derivar cada uma dessas partes separadamente e depois combinar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: .
Aqui, temos uma função composta: o logaritmo natural ( ) de . Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é .
Então, derivando onde :
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: .
Aqui também temos uma função composta: onde . Aplicando a Regra da Cadeia novamente:
Calculando onde :
Então, a derivada de é:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes. Lembre-se que a função é a diferença das duas partes:
Então, a derivada de será a derivada da primeira parte menos a derivada da segunda parte:
Substituindo pelo que encontramos nos passos anteriores:

Resposta

A derivada de é:

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