Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
22 G(x) = ((7 x + 1 / x) / (x^2 + 2 x - 1))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, nossa função é uma função ao quadrado de uma razão, então vamos precisar aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função externa e a função interna. A função externa é , onde . Segundo a regra da cadeia, a derivada de será a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é . Então, até aqui temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada para derivar uma divisão de duas funções.

Passo 5

A regra do quociente diz que se temos , então:
Aqui, e .

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Agora, vamos calcular :

Passo 8

Aplicando a regra do quociente:

Passo 9

Simplificando a expressão do numerador:
Primeiro, distribuímos:
E para o segundo termo:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 10

Então, a derivada da função interna fica:

Passo 11

Agora, substituímos e na expressão da derivada de :

Passo 12

Simplificando a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
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