Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, nossa função
é uma função ao quadrado de uma razão, então vamos precisar aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função externa e a função interna. A função externa é
, onde
. Segundo a regra da cadeia, a derivada de
será a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa
. A derivada de
em relação a
é
. Então, até aqui temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada para derivar uma divisão de duas funções.
Passo 5
A regra do quociente diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
Aplicando a regra do quociente:
Passo 9
Simplificando a expressão do numerador:
Primeiro, distribuímos:
E para o segundo termo:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 10
Então, a derivada da função interna
fica:
Passo 11
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada de
:
Passo 12
Simplificando a expressão final:
Resposta
A derivada da função
é:
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