Usando derivação implícita, calcule y' : 2y^3 + 4x^2 - y = x^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente tem a equação e queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando está misturado com de forma que não dá pra isolar facilmente .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente deriva em relação a , precisa multiplicar pela derivada de ( ) porque é uma função de .
Vamos lá:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:
  2. Derivada de :
    Isso é direto, usando a regra do poder:
  3. Derivada de :
    Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de é :
  4. Derivada de :
    Diretamente pela regra do poder:

Passo 3

Agora, juntando todas as derivadas, a equação derivada fica:

Passo 4

Vamos isolar os termos que contêm de um lado da equação:
Fatorando :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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