Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente tem a equação
e queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
de forma que não dá pra isolar facilmente
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que quando a gente deriva
em relação a
, precisa multiplicar pela derivada de
(
) porque
é uma função de
.
Vamos lá:
-
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada deé , então: -
Derivada de
:
Isso é direto, usando a regra do poder: -
Derivada de
:
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada deé : -
Derivada de
:
Diretamente pela regra do poder:
Passo 3
Agora, juntando todas as derivadas, a equação derivada fica:
Passo 4
Vamos isolar os termos que contêm
de um lado da equação:
Fatorando
:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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