Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
21 F(x) = ((3 x + 1) / (x^2))^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia, que faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar identificar as partes internas e externas da função para aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da função. A função é uma função composta, onde a parte interna é e a parte externa é . A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa . Usando a regra do poder, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função interna . Podemos reescrever como para facilitar a derivação usando a regra do produto.

Passo 5

Aplicando a regra do produto, onde e :
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo e :
Lembrando que :

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
15 f(x) = (3 x + 1/x)^2 (6 x - 1)^5
Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (3 x - 6)^{-1} / (x + 3)^{-2}
Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (1 + e^(-2 x)) / (x + tg(12 x))
Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (ln(x^2 + 1) - tg^(-1)(6x))^11