Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (3 x - 6)^{-1} / (x + 3)^{-2}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de potências e como aplicar a Regra da Cadeia em funções compostas.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Lembre-se que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, nossa função está mais simples: .

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. A Regra do Quociente diz que se , então:
Identificamos aqui que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
é
éé

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar.

Passo 6

Vamos fatorar e simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Podemos fatorar mais o numerador:
Portanto:

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) f(t)=(1+5t)/ln(t)
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
7 f(y) = 1 / (4 y + 1)^5
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
15 f(x) = (3 x + 1/x)^2 (6 x - 1)^5
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
21 F(x) = ((3 x + 1) / (x^2))^3