Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (1 + e^(-2 x)) / (x + tg(12 x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada de usando a Regra da Cadeia. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do nosso problema. Temos uma função que é uma fração, ou seja, um quociente de duas funções:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Como é um quociente de duas funções, vamos usar a Regra do Quociente para derivar . A Regra do Quociente nos diz que se , então:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos começar derivando :
  • A derivada de 1 é 0.
  • Para , usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, a derivada de é .
      Então, .

Passo 5

Agora, vamos derivar :
  • A derivada de é 1.
  • Para , usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada de é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, a derivada de é .
      Então, .

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Quociente:
Substituindo:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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