Usando derivação implícita, calcule y' : ln(y-x) = ln(y+x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A questão nos pede para encontrar na equação . Vamos precisar saber sobre derivadas de funções logarítmicas e como aplicar a derivação implícita, que é usada quando está ligado a de forma não direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é . Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Derivamos que dá .

Passo 4

Derivando o lado direito:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. Derivamos que resulta em .

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 7

Expandimos os produtos:

Passo 8

Vamos agrupar os termos com de um lado e os demais do outro:
Simplificamos:

Passo 9

Agora, isolamos :

Resposta

A derivada é igual a .

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