Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A questão nos pede para encontrar
na equação
. Vamos precisar saber sobre derivadas de funções logarítmicas e como aplicar a derivação implícita, que é usada quando
está ligado a
de forma não direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
. Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Derivamos
que dá
.
Passo 4
Derivando o lado direito:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. Derivamos
que resulta em
.
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 7
Expandimos os produtos:
Passo 8
Vamos agrupar os termos com
de um lado e os demais do outro:
Simplificamos:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Usando derivação implícita, calcule
:
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada: