Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. A função é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Podemos ver que temos uma função externa e uma função interna:
- Função externa:
, onde - Função interna:
A regra da cadeia nos diz que para derivar
, a derivada
é
.
Passo 3
Vamos derivar a função externa em relação a
. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
. Para isso, usaremos a regra do quociente, que é usada quando você tem uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
então -
então
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas da função externa e interna:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.