Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
24 f(x) = (16 x / (x^2 - 7))^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. A função é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Podemos ver que temos uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
A regra da cadeia nos diz que para derivar , a derivada é .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . Se , então a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Para isso, usaremos a regra do quociente, que é usada quando você tem uma fração onde o numerador e o denominador são funções de .
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas de e :
  • então
  • então
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas da função externa e interna:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = raiz(3 - x^2), n = 3
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
23 g(t) = ((7 t + 1 / t) / (t^3 + 2))^7
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = ln(1/x), n = 3
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
25 f(x) = 1/raiz(x)