Nos problemas de 34 a 39 , obter equações paramétricas da elipse de equação dada.
49(x+7)^2+y^2=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma elipse que está dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre a forma padrão das equações das elipses. Vamos precisar entender como transformar a equação geral da elipse para a forma padrão e, a partir daí, derivar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da elipse numa forma mais familiar. A equação que temos é:
49(x + 7)^2 + y^2 = 7
Para transformar isso na forma padrão da equação da elipse, que é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde 49(x + 7)^27 + y^27 = 77 é o centro da elipse, e 7(x + 7)^2 + y^27 = 1 e são os comprimentos dos semieixos, precisamos dividir toda a equação original por 7:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para se parecer com a forma padrão. Observando:
7(x + 7)^2 + y^27 = 1
Podemos reescrever os termos assim:
(x + 7)^217 + y^27 = 1
Agora, está na forma padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, temos que:
  • então
  • então

Passo 4

Com os valores de x(t) = h + a cos(t) y(t) = k + b sin(t) , x(t) = -7 + 1raiz7 cos(t) y(t) = 0 + raiz7 sin(t) , e identificados, podemos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas para uma elipse centralizada em são:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da elipse são:
x(t) = -7 + dfrac1raiz7, cos(t) y(t) = raiz7, sin(t)
onde está no intervalo .

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