Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
u times v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores aqui: u = (3, 4, 1), v = (2, 3, 2) e w = (4, 2, 3). Mas, por enquanto, nosso foco é encontrar o produto vetorial entre u e v, ou seja, u times v. Para isso, vamos usar a regra do determinante, que nos ajuda a calcular esse tipo de produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional. Se temos a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto vetorial a times b é dado por:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso significa que vamos calcular esse determinante para encontrar o vetor resultante.

Passo 3

Agora, aplicando isso aos nossos vetores u e v:
u times v = i & j & k 3 & 4 & 1 2 & 3 & 2
Vamos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.

Passo 4

Calculando cada componente:
  • Componente i:
i cdot (4 cdot 2 - 1 cdot 3) = i cdot (8 - 3) = i cdot 5
  • Componente j (lembre-se que tem sinal negativo):
-j cdot (3 cdot 2 - 1 cdot 2) = -j cdot (6 - 2) = -j cdot 4
  • Componente k:
k cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) = k cdot (9 - 8) = k cdot 1

Passo 5

Juntando todas as componentes, temos:
u times v = 5i - 4j + 1k
Ou, em forma de coordenadas:
u times v = (5, -4, 1)

Resposta

O produto vetorial u times v é igual a (5, -4, 1).

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