0,2 pt Considere as funções definidas pelas tabelas:
x 1 2 3 4 5
y 3 1 -1 -3 -5
x 1 2 3 4 5
y 6 3 2 1,5 1,2
(b) Encontre, em cada caso, as constantes que determinam a expressão algébrica da função.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui duas tabelas que definem duas funções diferentes. A tarefa é descobrir quais são as expressões algébricas dessas funções, ou seja, descobrir as fórmulas que descrevem como y depende de x em cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares e possivelmente exponenciais, dependendo dos dados que temos.

Passo 2

Vamos começar pela primeira tabela:
[
x 1 2 3 4 5
y 3 1 -1 -3 -5
]
Observamos que conforme x aumenta de 1 em 1, y diminui de 2 em 2: de 3 para 1 (queda de 2), de 1 para -1 (queda de 2), e assim por diante. Isso sugere que essa é uma função linear, da forma:
Onde:
  • é o coeficiente angular (a inclinação da linha)
  • é o coeficiente linear (o ponto onde a linha cruza o eixo y)
Para encontrar , usamos a fórmula da inclinação:
Pegando dois pontos da tabela, por exemplo, (1, 3) e (2, 1):
Agora, sabemos que . Para achar , podemos usar um dos pontos. Vamos usar (1, 3):
Então, a expressão da primeira função é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda tabela:
[
x 1 2 3 4 5
y 6 3 2 1,5 1,2
]
Aqui, os valores de y não estão diminuindo de forma constante como na função linear anterior. Vamos ver se essa função pode ser exponencial, que tem a forma:
Onde:
  • é a constante inicial
  • é a base da potência
Para encontrar e , precisamos de pelo menos dois pontos. Vamos usar (1, 6) e (2, 3):
Primeiro, usando x=1:
Usando x=2:
Dividindo a equação (2) pela equação (1):
Então, .
Agora, substituindo na equação (1):
Então, a expressão da segunda função é:

Resposta

As expressões algébricas das funções são:

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Reescreva J utilizando a substituição u=cos (x).
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