Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do primeiro grau e tem uma condição inicial. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação
e que, quando
,
. Para isso, vamos usar o método das equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares, que é
. Para isso, vamos dividir todos os termos por
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Assim, podemos escrever:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição
, então
ou
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto, a solução é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
, válida para
.
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, onde
é uma constante.
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