Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do primeiro grau e tem uma condição inicial. A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação e que, quando , . Para isso, vamos usar o método das equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares, que é . Para isso, vamos dividir todos os termos por :
Agora, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo uma substituição simples, seja , então ou . Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Assim, podemos escrever:

Passo 5

Vamos integrar os dois lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição , então ou :
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, a solução é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é , válida para .

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