Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A gente precisa resolver a seguinte equação:
Isso está relacionado à matéria de Equações Diferenciais, especificamente resolvendo equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar . Começamos adicionando em ambos os lados:
Agora, dividimos os dois lados por para deixar sozinho:
Essa equação ainda está complicada, então vamos tentar simplificar usando uma substituição. Vamos definir . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, a gente tem uma equação diferencial linear na forma:

Passo 4

Para resolver essa equação linear, a gente precisa encontrar um fator integrante. A fórmula para o fator integrante é:
Onde é o coeficiente de . No nosso caso, , então:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes. Após resolver, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , então:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica e determine suas negações: Existe um úmero inteiro tal que é par ou é ímpar.
Calcule o limite ou explique por que ele não existe .
Calcule o limite ou explique por que ele não existe .