Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A gente precisa resolver a seguinte equação:
Isso está relacionado à matéria de Equações Diferenciais, especificamente resolvendo equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
. Começamos adicionando
em ambos os lados:
Agora, dividimos os dois lados por
para deixar
sozinho:
Essa equação ainda está complicada, então vamos tentar simplificar usando uma substituição. Vamos definir
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, a gente tem uma equação diferencial linear na forma:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, a gente precisa encontrar um fator integrante. A fórmula para o fator integrante
é:
Onde
é o coeficiente de
. No nosso caso,
, então:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes. Após resolver, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica e determine suas negações: Existe um úmero inteiro
tal que
é par ou
é ímpar.
Calcule o limite ou explique por que ele não existe
.
Calcule o limite ou explique por que ele não existe
.