Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: "Resolva a EDO
". Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, que no caso é definir
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que
, então podemos reescrever isso como:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Mas, de acordo com a EDO original,
. Então, podemos igualar as duas expressões para
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 5
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação.
Passo 6
A integral do lado esquerdo pode ser simplificada usando uma identidade trigonométrica. Multiplicando o numerador e o denominador por
, temos:
Isso se divide em duas integrais mais simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Integrando o lado direito, temos:
Então, juntando tudo, temos:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para obter a solução em termos de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
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Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
.
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