Resolva as EDO d y/d x = sen(x+y) ; u = x+y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: "Resolva a EDO ". Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, que no caso é definir .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar y em termos de u e x. Sabemos que , então podemos reescrever isso como:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x para encontrar .

Passo 3

Derivando em relação a x, temos:
Mas, de acordo com a EDO original, . Então, podemos igualar as duas expressões para :

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis u e x para integrar ambos os lados.

Passo 5

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação.

Passo 6

A integral do lado esquerdo pode ser simplificada usando uma identidade trigonométrica. Multiplicando o numerador e o denominador por , temos:
Isso se divide em duas integrais mais simples:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Integrando o lado direito, temos:
Então, juntando tudo, temos:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para obter a solução em termos de y:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde C é a constante de integração.

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