- Utilizando o Exercício 1, determine a única função
, que satisfaça as condições dadas.
b)
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função
que resolve a equação diferencial
e que, além disso, passa pelo ponto
. O assunto aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e aplicar a condição inicial para achar a constante da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é conhecida como equação linear de primeira ordem. A ideia é separar as variáveis
e
para conseguir integrar os dois lados.
Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da igualdade:
A integral de
é
e a integral de
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Isso simplifica para:
Podemos escrever
como outra constante, digamos
. Portanto:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Resposta
A única função que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
- Utilizando o Exercício 1, determine a única função
, que satisfaça as condições dadas.
a)e
- Seja
, derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo . Seja dada por sen . Prove que é constante.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.