1. Utilizando o Exercício 1, determine a única função , que satisfaça as condições dadas.
    b) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função que resolve a equação diferencial e que, além disso, passa pelo ponto . O assunto aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e aplicar a condição inicial para achar a constante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é conhecida como equação linear de primeira ordem. A ideia é separar as variáveis e para conseguir integrar os dois lados.
Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da igualdade:
A integral de é e a integral de é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Isso simplifica para:
Podemos escrever como outra constante, digamos . Portanto:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Resposta

A única função que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados

  1. Utilizando o Exercício 1, determine a única função , que satisfaça as condições dadas.
    a) e
  1. Seja , derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo . Seja dada por sen . Prove que é constante.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.