Quais das transformações abaixo são lineares?
(n) T: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R), T(A) = [ll1 & 1 0 & 1] A[ll2 & 0 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais transformações são lineares. A transformação que vamos analisar é:
T: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R), T(A) = 1 & 1 0 & 1 , A , 2 & 0 1 & 1
Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa transformação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura de um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a transformação T(A + B) = 1 & 1 0 & 1 (A + B) 2 & 0 1 & 1 dada satisfaz essas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Calculando = 1 & 1 0 & 1 A 2 & 0 1 & 1 + 1 & 1 0 & 1 B 2 & 0 1 & 1 :
T(A + B) = T(A) + T(B)
Usando a distributividade da multiplicação de matrizes:
T(cA) = 1 & 1 0 & 1 (cA) 2 & 0 1 & 1 = c ( 1 & 1 0 & 1 A 2 & 0 1 & 1 ) = cT(A)
Ou seja,
Segunda propriedade (Escalar):
Calculando :

Passo 4

Como verificamos que e , podemos concluir que a transformação preserva a adição e a multiplicação por escalar. Portanto, é uma transformação linear.

Resposta

A transformação definida é linear.

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