Quais das transformações abaixo são lineares?
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais transformações são lineares. A transformação que vamos analisar é:
Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa transformação
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura de um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a transformação
dada satisfaz essas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Calculando
:
Usando a distributividade da multiplicação de matrizes:
Ou seja,
Segunda propriedade (Escalar):
Calculando
:
Passo 4
Como verificamos que
e
, podemos concluir que a transformação
preserva a adição e a multiplicação por escalar. Portanto,
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
definida é linear.
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e