Quais das transformações abaixo são lineares?
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais transformações são lineares. A transformação que vamos analisar é:
Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa transformação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura de um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a transformação dada satisfaz essas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Calculando :
Usando a distributividade da multiplicação de matrizes:
Ou seja,
Segunda propriedade (Escalar):
Calculando :

Passo 4

Como verificamos que e , podemos concluir que a transformação preserva a adição e a multiplicação por escalar. Portanto, é uma transformação linear.

Resposta

A transformação definida é linear.

Exercícios relacionados

Quais das transformações abaixo são lineares?
(l)
Quais das transformações abaixo são lineares?
(a) .
Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar.
Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do . Verificar quais deles são subespaços vetoriais do relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais. e