Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando quais subconjuntos de são subespaços de . Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios da forma , onde .
Aqui, representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para determinar se esse subconjunto é um subespaço, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero está em .
  2. Fechado sob adição: se dois polinômios estão em , a soma deles também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se um polinômio está em , qualquer múltiplo dele por um escalar também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto específico onde .

Passo 3

1. Contém o vetor zero?
O vetor zero em é o polinômio , ou seja, . No nosso conjunto, temos que , então o polinômio zero não está incluído, porque aqui sempre é 2, não 0. Isso já viola a primeira condição para ser um subespaço.

Passo 4

Mesmo que a primeira condição já não seja atendida, vamos verificar as outras para entender melhor.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios no conjunto: e .
Sua soma seria:
Aqui, o termo constante é 4, não 2. Portanto, a soma de dois polinômios desse conjunto não está mais no conjunto, já que não é igual a 2.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegando um polinômio e multiplicando por um escalar , temos:
O termo constante agora é , que só será igual a 2 se . Para outros valores de , o termo constante não será 2, o que significa que o polinômio resultante não pertence mais ao conjunto.

Resposta

Nenhum dos subconjuntos definidos por é um subespaço de , pois não satisfazem as condições necessárias para serem subespaços vetoriais.

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Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde .
Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
© ,

Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas: