Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b)
, onde
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando quais subconjuntos de
são subespaços de
. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios da forma
, onde
.
Aqui,
representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para determinar se esse subconjunto é um subespaço, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero está em
. - Fechado sob adição: se dois polinômios estão em
, a soma deles também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se um polinômio está em
, qualquer múltiplo dele por um escalar também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto específico onde
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero?
O vetor zero em
é o polinômio
, ou seja,
. No nosso conjunto, temos que
, então o polinômio zero não está incluído, porque aqui
sempre é 2, não 0. Isso já viola a primeira condição para ser um subespaço.
Passo 4
Mesmo que a primeira condição já não seja atendida, vamos verificar as outras para entender melhor.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios no conjunto:
e
.
Sua soma seria:
Aqui, o termo constante é 4, não 2. Portanto, a soma de dois polinômios desse conjunto não está mais no conjunto, já que
não é igual a 2.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegando um polinômio
e multiplicando por um escalar
, temos:
O termo constante agora é
, que só será igual a 2 se
. Para outros valores de
, o termo constante não será 2, o que significa que o polinômio resultante não pertence mais ao conjunto.
Resposta
Nenhum dos subconjuntos definidos por
é um subespaço de
, pois não satisfazem as condições necessárias para serem subespaços vetoriais.
Exercícios relacionados
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde
.
(a)
Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
© ,
©
Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
(d)
Para quais valores de
, o sistema
tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas: