Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se um certo conjunto de vetores em é um subespaço desse espaço vetorial. O conjunto que estamos analisando é formado por todos os vetores da forma que satisfazem a equação . Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições principais:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Ser fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. Vamos substituir e na equação :
Isso mostra que o vetor zero n��o está no conjunto, já que .

Passo 4

Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que esse conjunto não é um subespaço de . Não precisamos verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser satisfeitas para que o conjunto seja um subespaço.

Resposta

O conjunto de todos os vetores da forma , onde , não é um subespaço de .

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Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
© ,

Quais das seguintes equações nas incógnitas e são lineares?
(f)
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde .
Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,