Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a)
, onde
.
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se um certo conjunto de vetores em
é um subespaço desse espaço vetorial. O conjunto que estamos analisando é formado por todos os vetores da forma
que satisfazem a equação
. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições principais:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Ser fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. Vamos substituir
e
na equação
:
Isso mostra que o vetor zero
n��o está no conjunto, já que
.
Passo 4
Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que esse conjunto não é um subespaço de
. Não precisamos verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser satisfeitas para que o conjunto seja um subespaço.
Resposta
O conjunto de todos os vetores da forma
, onde
, não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
© ,
©
Quais das seguintes equações nas incógnitas
e
são lineares?
(f)
(f)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde
.
(b)
Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
(d)