Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Pra isso, precisamos lembrar dos axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são satisfeitos com as operações dadas. Vamos precisar entender cada axioma e aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra operação de adição definida no problema:
Isso significa que, ao somar dois vetores, o resultado é sempre o primeiro vetor. Agora, vamos verificar se essa operação cumpre os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da Adição
Esse axioma diz que se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto. Aqui, somar dois vetores em realmente dá outro vetor em , então esse axioma tá ok.
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Isso quer dizer que . Vamos testar com dois vetores:
Como a menos que sejam iguais, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Axioma 3: Associatividade da Adição
Aqui, a gente precisa que . Vamos ver:
Então, nesse caso específico, a associatividade parece ser satisfeita.

Passo 5

Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Deve existir um vetor zero tal que para todo . Vamos ver:
Parece que funciona como o elemento neutro. Então, esse axioma tá de boa.

Passo 6

Axioma 5: Elemento Inverso da Adição
Para todo vetor , deve existir tal que . Mas aqui:
Isso não resulta no zero, a menos que . Então, não temos um inverso aditivo válido. Esse axioma não é satisfeito.

Passo 7

Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
A multiplica��ão por escalar está definida como:
Isso está de acordo com o fechamento, já que o produto por escalar de um vetor em continua em . Axioma satisfeito.
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Vetores
Devemos ter:
Vamos testar:
Mas:
Parece que esse axioma tá violado dependendo dos vetores, já que a soma sempre retorna o primeiro vetor. Então, esse axioma não é satisfeito.

Passo 8

Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares
Isso exige que:
Vamos ver:
A igualdade só ocorre se , o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma não é satisfeito.

Passo 9

Axioma 9: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Devemos ter:
Aqui:
Esse axioma tá satisfeito.
Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Deve existir :
Então, esse axioma tá ok.

Resposta

Então, analisando todos os axiomas, vemos que o conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não se verificam são:
  1. Comutatividade da Adição:
  2. Existência de Inverso Aditivo: Não existe tal que
  3. Distributividade da Multiplicação por Vetores:
  4. Distributividade da Multiplicação por Escalares em Relação à Soma de Escalares:

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Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde .
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde .
Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .