Nos problemas de a a d são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) V=R^2,
& (a, b)+(c, d)=(a, b) & k(a, b)=(k a, k b) ; k in Re

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Pra isso, precisamos lembrar dos axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são satisfeitos com as operações dadas. Vamos precisar entender cada axioma e aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra operação de adição definida no problema:
(a, b) + (c, d) = (a, b)
Isso significa que, ao somar dois vetores, o resultado é sempre o primeiro vetor. Agora, vamos verificar se essa operação cumpre os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da Adição
Esse axioma diz que se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto. Aqui, somar dois vetores em (a, b) + (c, d) = (a, b) (c, d) + (a, b) = (c, d) realmente dá outro vetor em , então esse axioma tá ok.
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Isso quer dizer que . Vamos testar com dois vetores:
Como a menos que sejam iguais, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Axioma 3: Associatividade da Adição
Aqui, a gente precisa que ((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a, b) + (e, f) = (a, b) (a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c, d) = (a, b) . Vamos ver:
Então, nesse caso específico, a associatividade parece ser satisfeita.

Passo 5

Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Deve existir um vetor zero (a, b) + (0, 0) = (a, b) tal que para todo . Vamos ver:
Parece que funciona como o elemento neutro. Então, esse axioma tá de boa.

Passo 6

Axioma 5: Elemento Inverso da Adição
Para todo vetor (a, b) + (-a, -b) = (a, b) , deve existir tal que . Mas aqui:
Isso não resulta no zero, a menos que . Então, não temos um inverso aditivo válido. Esse axioma não é satisfeito.

Passo 7

Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
A multiplica��ão por escalar está definida como:
k(a, b) = (k a, k b)
Isso está de acordo com o fechamento, já que o produto por escalar de um vetor em k(u + v) = ku + kv continua em k(a, b) + k(c, d) = (k a, k b) . Axioma satisfeito.
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Vetores
Devemos ter:
k(a, b) + k(c, d) = (k a, k b)
Vamos testar:
Mas:
Parece que esse axioma tá violado dependendo dos vetores, já que a soma sempre retorna o primeiro vetor. Então, esse axioma não é satisfeito.

Passo 8

Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares
Isso exige que:
(k + m)v = kv + mv
Vamos ver:
(k + m)(a, b) = ((k + m)a, (k + m)b) k(a, b) + m(a, b) = (k a, k b)
A igualdade só ocorre se , o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma não é satisfeito.

Passo 9

Axioma 9: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Devemos ter:
k(mv) = (km)v
Aqui:
k(m(a, b)) = k(ma, mb) = (kma, kmb) (km)(a, b) = (kma, kmb)
Esse axioma tá satisfeito.
Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Deve existir 1(a, b) = (1 cdot a, 1 cdot b) = (a, b) :
Então, esse axioma tá ok.

Resposta

Então, analisando todos os axiomas, vemos que o conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não se verificam são:
  1. Comutatividade da Adição:
  2. Existência de Inverso Aditivo: Não existe tal que
  3. Distributividade da Multiplicação por Vetores:
  4. Distributividade da Multiplicação por Escalares em Relação à Soma de Escalares:

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