Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d)
,
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um conjunto
com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Pra isso, precisamos lembrar dos axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são satisfeitos com as operações dadas. Vamos precisar entender cada axioma e aplicar aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra operação de adição definida no problema:
Isso significa que, ao somar dois vetores, o resultado é sempre o primeiro vetor. Agora, vamos verificar se essa operação cumpre os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da Adição
Esse axioma diz que se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto. Aqui, somar dois vetores em realmente dá outro vetor em
, então esse axioma tá ok.
Esse axioma diz que se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto. Aqui, somar dois vetores em
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Isso quer dizer que . Vamos testar com dois vetores:
Isso quer dizer que
Como
a menos que sejam iguais, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
Axioma 3: Associatividade da Adição
Aqui, a gente precisa que . Vamos ver:
Aqui, a gente precisa que
Então, nesse caso específico, a associatividade parece ser satisfeita.
Passo 5
Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Deve existir um vetor zero tal que
para todo
. Vamos ver:
Deve existir um vetor zero
Parece que
funciona como o elemento neutro. Então, esse axioma tá de boa.
Passo 6
Axioma 5: Elemento Inverso da Adição
Para todo vetor , deve existir
tal que
. Mas aqui:
Para todo vetor
Isso não resulta no zero, a menos que
. Então, não temos um inverso aditivo válido. Esse axioma não é satisfeito.
Passo 7
Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
A multiplica��ão por escalar está definida como:
A multiplica��ão por escalar está definida como:
Isso está de acordo com o fechamento, já que o produto por escalar de um vetor em
continua em
. Axioma satisfeito.
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Vetores
Devemos ter:
Devemos ter:
Vamos testar:
Mas:
Parece que esse axioma tá violado dependendo dos vetores, já que a soma sempre retorna o primeiro vetor. Então, esse axioma não é satisfeito.
Passo 8
Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares
Isso exige que:
Isso exige que:
Vamos ver:
A igualdade só ocorre se
, o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma não é satisfeito.
Passo 9
Axioma 9: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Devemos ter:
Devemos ter:
Aqui:
Esse axioma tá satisfeito.
Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Deve existir :
Deve existir
Então, esse axioma tá ok.
Resposta
Então, analisando todos os axiomas, vemos que o conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não se verificam são:
- Comutatividade da Adição:
- Existência de Inverso Aditivo: Não existe
tal que - Distributividade da Multiplicação por Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalares em Relação à Soma de Escalares:
Exercícios relacionados
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde
.
(b)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde
.
(a)
Para quais valores de
, o sistema
tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .
(a)