Para quais valores de
, o sistema
tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que você enviou. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares e queremos descobrir para quais valores de
o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e analisar a consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A fórmula do determinante para uma matriz
é:
Onde
,
,
e
. Então:
Passo 4
Vamos analisar o valor do determinante:
- Se
: Isso significa que as equações são independentes e o sistema tem uma única solução. - Se
: Isso pode indicar que as equações são dependentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução).
Passo 5
Vamos resolver para
:
Para encontrar os valores de
que satisfazem isso, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Então, as raízes são:
Portanto, para
e
, temos
, e o sistema tem uma única solução.
Passo 6
Agora, vamos verificar quando
, ou seja, quando
ou
.
Para esses valores de
, as duas equações se tornam múltiplas uma da outra, o que significa que elas são essencialmente a mesma equação. Isso implica que o sistema tem infinitas soluções, já que qualquer ponto que satisfaça uma equação satisfaz a outra também.
Passo 7
Finalmente, observamos que não há valores de
que façam o sistema não ter solução. Sempre que
, as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções, não nenhuma.
Resposta
a) O sistema tem uma única solução para todo
diferente de
e
.
b) O sistema tem infinitas soluções quando
ou
.
c) Não há valores de
que fazem o sistema não ter solução.
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a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
(d)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde
.
(b)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .
(a)
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c)
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