Para quais valores de alpha, o sistema lalpha x+y=0 x+(2 alpha+1) y=0 tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que você enviou. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
alpha x + y = 0 x + (2alpha + 1)y = 0
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares e queremos descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e analisar a consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações:
A = alpha & 1 1 & 2alpha + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A fórmula do determinante para uma matriz det(A) = ad - bc é:
det(A) = alpha(2alpha + 1) - (1)(1) = 2alpha^2 + alpha - 1
Onde , , e . Então:

Passo 4

Vamos analisar o valor do determinante:
  • Se : Isso significa que as equações são independentes e o sistema tem uma única solução.
  • Se : Isso pode indicar que as equações são dependentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução).

Passo 5

Vamos resolver para 2alpha^2 + alpha - 1 neq 0 :
2alpha^2 + alpha - 1 = 0
Para encontrar os valores de alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a que satisfazem isso, resolvemos a equação quadrática:
alpha = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Usando a fórmula de Bhaskara:
alpha = 12 e alpha = -1
Aqui, , e :
Então, as raízes são:
Portanto, para e , temos , e o sistema tem uma única solução.

Passo 6

Agora, vamos verificar quando , ou seja, quando ou .
Para esses valores de , as duas equações se tornam múltiplas uma da outra, o que significa que elas são essencialmente a mesma equação. Isso implica que o sistema tem infinitas soluções, já que qualquer ponto que satisfaça uma equação satisfaz a outra também.

Passo 7

Finalmente, observamos que não há valores de que façam o sistema não ter solução. Sempre que , as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções, não nenhuma.

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todo diferente de e .
b) O sistema tem infinitas soluções quando ou .
c) Não há valores de que fazem o sistema não ter solução.

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