Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o conjunto de todos os vetores da forma em é um subespaço de . Para isso, vamos utilizar os critérios que definem um subespaço vetorial, que são:
  1. O conjunto contém o vetor zero.
  2. O conjunto é fechado sob adição.
  3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Observando a forma dos vetores no conjunto , vemos que o terceiro componente é sempre 2. Portanto, não existe um vetor no conjunto que seja igual a .

Passo 3

Como o conjunto não contém o vetor zero, ele já não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço. Não precisamos verificar as outras condições, pois todas devem ser satisfeitas.

Resposta

O conjunto de todos os vetores da forma não é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Nos problemas de a são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
c)
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde .