Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o conjunto de todos os vetores da forma
em
é um subespaço de
. Para isso, vamos utilizar os critérios que definem um subespaço vetorial, que são:
- O conjunto contém o vetor zero.
- O conjunto é fechado sob adição.
- O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Observando a forma dos vetores no conjunto
, vemos que o terceiro componente é sempre 2. Portanto, não existe um vetor no conjunto que seja igual a
.
Passo 3
Como o conjunto não contém o vetor zero, ele já não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço. Não precisamos verificar as outras condições, pois todas devem ser satisfeitas.
Resposta
O conjunto de todos os vetores da forma
não é um subespaço de
.
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Para quais valores de
, o sistema
tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(d) ,
(d)
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
c)
c)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde
.
©