(Problemas Gerais) Um corpo de 1 kg é conectado por meio de um cabo a um corpo de 2 kg, o qual, por sua vez, é conectado, por meio de um segundo cabo que passa sobre uma polia sem massa e sem atrito, a um corpo de 4 kg. Determine a aceleração do sistema e a tração em ambos os cabos. Admita que os cabos possuem massa desprezível e que não se alongam, e admita também que a superfície de deslizamento seja sem atrito.

Passo 1

Então, temos um problema de dinâmica onde três corpos estão conectados por cabos e passando por uma polia sem atrito. Precisamos encontrar a aceleração do sistema e a tração nos dois cabos. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton, que nos ajudam a entender como as forças agem nos objetos e como elas afetam o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada massa. Temos três massas:
  • Massa
  • Massa
  • Massa
As forças principais são o peso de cada massa, que é , onde é a aceleração da gravidade, e as tensões nos cabos, que chamaremos de e .

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de corpo livre para cada massa:
  • Massa : Está puxada para baixo pelo peso e para cima pela tensão .
  • Massa : Está puxada para baixo pelo peso e para cima pela tensão . Além disso, está conectada ao , então há a tensão puxando para cima.
  • Massa : Está puxada para baixo pelo peso e para cima pela tensão .

Passo 4

Vamos assumir que o sistema acelera para baixo na direção do P1 - T1 = m1 cdot a , já que m1 cdot g - T1 = m1 cdot a (1) é a maior massa. A aceleração de todo o sistema será a mesma, T1 - T2 - P2 = m2 cdot a .
Para cada massa, aplicamos a segunda lei de Newton T1 - T2 - m2 cdot g = m2 cdot a (2) :
  • Para P3 - T2 = m3 cdot a :
    m3 cdot g - T2 = m3 cdot a (3)
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( T1 = m1 cdot g - m1 cdot a (4) , T2 = m3 cdot g - m3 cdot a (5) , e ). Podemos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação (1):
Da equação (3):
Agora, substituímos e nas equações restantes.

Passo 6

Substituindo (m1 cdot g - m1 cdot a) - (m3 cdot g - m3 cdot a) - m2 cdot g = m2 cdot a da equação (4) e m1 cdot g - m1 cdot a - m3 cdot g + m3 cdot a - m2 cdot g = m2 cdot a da equação (5) na equação (2):
(m1 - m3 - m2) cdot g + (m3 - m1) cdot a = m2 cdot a
Vamos simplificar:
(m1 - m2 - m3) cdot g = (m2 + m1 - m3) cdot a
Agrupando os termos com e :

Passo 7

Resolvendo para a = (m1 - m2 - m3) cdot g(m2 + m1 - m3) :
a = (1 - 2 - 4) cdot 9,8(2 + 1 - 4) = (-5) cdot 9,8(-1) = -49-1 = 49 , m/s^2
Substituindo os valores:
Parece que a aceleração calculada ficou muito alta, o que indica que houve um erro na organização das equações. Vamos revisar os sinais.

Passo 8

Revisando a equação de movimento para T1 - T2 - m2 cdot g = m2 cdot a :
(m1 cdot g - m1 cdot a) - (m3 cdot g - m3 cdot a) - m2 cdot g = m2 cdot a
Substituindo m1 cdot g - m1 cdot a - m3 cdot g + m3 cdot a - m2 cdot g = m2 cdot a e (m1 - m3 - m2) cdot g + (m3 - m1) cdot a = m2 cdot a :
(m1 - m2 - m3) cdot g = (m2 + m1 - m3) cdot a
Simplificando corretamente:
a = (m1 - m2 - m3) cdot g(m2 + m1 - m3)
Agrupando os termos:
a = (1 - 2 - 4) cdot 9,8(2 + 1 - 4) = (-5) cdot 9,8(-1) = 49 , m/s^2
Isolando :
Substituindo os valores:
Ainda está errado. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos somar todas as forças e igualar à massa total vezes acelera��ão.
A força resultante é (m3 - m1 - m2) cdot g = (m1 + m2 + m3) cdot a
A massa total do sistema é a = (m3 - m1 - m2) cdot gm1 + m2 + m3
Então:
a = (4 - 1 - 2) cdot 9,81 + 2 + 4 = 1 cdot 9,87 approx 1,4 , m/s^2
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 10

Agora que temos a aceleração, podemos encontrar as tensões T1 = m1 cdot g - m1 cdot a = 1 cdot 9,8 - 1 cdot 1,4 = 9,8 - 1,4 = 8,4 , N e T2 = m3 cdot g - m3 cdot a = 4 cdot 9,8 - 4 cdot 1,4 = 39,2 - 5,6 = 33,6 , N usando as equações (4) e (5):

Resposta

A aceleração do sistema é aproximadamente , a tração no primeiro cabo é e a tração no segundo cabo é .

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