Questão: (valor: 2,5 ) - Atira-se uma bala de argila (aderente) de massa mp e velocidade v0 contra um disco homogêneo de massa m, raio R e I=M R^2 / 2 (Figura ao lado). O disco está inicialmente em repouso, montado sobre um eixo fixo, perpendicular ao plano da figura, e que passa pelo seu centro de massa. A linha de movimento do projétil é perpendicular ao eixo e está a uma distância b do centro. Considere os seguintes valores:
(b) Qual a velocidade angular do sistema (disco+ massa) imediatamente após a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a velocidade angular do sistema composto pelo disco e pela massa da bala logo após a colisão. Estamos lidando com conceitos de momento angular e conservação do momento angular. Para resolver isso, vamos precisar calcular o momento angular antes e depois da colisão e igualá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o momento angular inicial do sistema. Antes da colisão:
  • O disco está em repouso, então seu momento angular é zero.
  • A bala de argila está se movendo com uma velocidade L = r times p e tem uma massa Linicial = b times mp times v0 . Ela está a uma distância do centro do disco.
O momento angular ( ) de um objeto em movimento é dado por:
onde é a distância até o ponto de rotação e é o momento linear ( ).
Então, o momento angular inicial da bala é:

Passo 3

Após a colisão, a bala de argila fica presa ao disco, formando um sistema combinado que gira com uma velocidade angular Lfinal = (I + Ibala) times omega = ( M R^22 + mp b^2 ) times omega . O momento angular final do sistema é a soma do momento angular do disco e da bala.
Sabemos que:
  • O momento de inércia do disco é .
  • O momento de inércia da bala presa a uma distância do centro é .
Então, o momento angular final ( ) é:

Passo 4

Pela conservação do momento angular, o momento angular inicial deve ser igual ao momento angular final:
Linicial = Lfinal
b times mp times v0 = ( M R^22 + mp b^2 ) times omega
Agora, isolamos omega = b times mp times v0M R^22 + mp b^2 :

Resposta

A velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão é:
omega = b , mp , v0dfracM R^22 + mp b^2

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