Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(x+y) dx + (x-y) dy = 0
y = x(ln x + c)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é . O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição apropriada para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata com um fator integrante. Mas uma abordagem mais simples aqui é tentar uma substituição que simplifique a relação entre e . Vamos supor que , onde é uma nova função de . Essa é uma técnica comum para equações homogêneas.

Passo 3

Agora, vamos expressar como . Assim, a derivada de em relação a será . Vamos substituir e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação , temos:
Simplificando:

Passo 5

Distribuindo os termos:
Vamos combinar os termos que têm :
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, dividimos tudo por para simplificar:
Isso nos dá uma equação que relaciona e .

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Agora, temos uma equação que podemos integrar dos dois lados.

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral à esquerda, podemos simplificar o denominador:
Mas para facilitar, podemos usar uma substituição ou reconhecer que a integral pode ser resolvida por frações parciais.

Passo 9

Resolvendo a integral, obtemos:
Rearranjando os termos para isolar , temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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