Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é
. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição apropriada para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata com um fator integrante. Mas uma abordagem mais simples aqui é tentar uma substituição que simplifique a relação entre
e
. Vamos supor que
, onde
é uma nova função de
. Essa é uma técnica comum para equações homogêneas.
Passo 3
Agora, vamos expressar
como
. Assim, a derivada de
em relação a
será
. Vamos substituir
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Distribuindo os termos:
Vamos combinar os termos que têm
:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, dividimos tudo por
para simplificar:
Isso nos dá uma equação que relaciona
e
.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Agora, temos uma equação que podemos integrar dos dois lados.
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral à esquerda, podemos simplificar o denominador:
Mas para facilitar, podemos usar uma substituição ou reconhecer que a integral pode ser resolvida por frações parciais.
Passo 9
Resolvendo a integral, obtemos:
Rearranjando os termos para isolar
, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.