raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
f(x, y) = (x + y) / (2 + cos(x)), epsilon = 0.02

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que, quando , então . Aqui, a função é e é 0,02. Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular para simplificar a expressão . Substituindo e por 0 na função:
Então, nossa condição fica .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um tal que, se , então . Para isso, vamos encontrar um limite para .

Passo 4

Vamos analisar o denominador . Sabemos que varia entre -1 e 1, então:
Isso significa que nunca será menor que 1. Portanto, podemos dizer que:

Passo 5

Agora, precisamos limitar . Usando a desigualdade triangular, temos:
E como , sabemos que e . Assim:

Passo 6

Queremos que . Da etapa anterior, temos . Então, resolvendo para :

Passo 7

Portanto, para garantir que , podemos escolher .

Resposta

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