Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que, quando , então . Aqui, a função é e é 0,02. Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular para simplificar a expressão . Substituindo e por 0 na função:
Então, nossa condição fica .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um tal que, se , então . Para isso, vamos encontrar um limite para .

Passo 4

Vamos analisar o denominador . Sabemos que varia entre -1 e 1, então:
Isso significa que nunca será menor que 1. Portanto, podemos dizer que:

Passo 5

Agora, precisamos limitar . Usando a desigualdade triangular, temos:
E como , sabemos que e . Assim:

Passo 6

Queremos que . Da etapa anterior, temos . Então, resolvendo para :

Passo 7

Portanto, para garantir que , podemos escolher .

Resposta

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Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Calcule os seguintes produtos matriz-vetor por colunas:
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
a) ( ) Se a primeira e a terceira colunas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira colunas de .
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
b) ( ) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de .