Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
a) ( ) Se a primeira e a terceira colunas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira colunas de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se for verdade que, se as primeiras e terceiras colunas de uma matriz são iguais, então as primeiras e terceiras colunas do produto também são iguais. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a multiplicação de matrizes e como as colunas de uma matriz resultante são formadas. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como isso afeta as colunas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , o produto é uma nova matriz onde cada coluna de é uma combinação linear das colunas de usando as linhas de .

Passo 3

Agora, suponha que as primeiras e terceiras colunas de são iguais. Vamos chamar essa coluna igual de . Então, temos:

Passo 4

Quando multiplicamos por , cada coluna de é dada por:
Ou seja, a primeira coluna de é e a terceira coluna também é .

Passo 5

Como tanto a primeira quanto a terceira coluna de são , elas são, de fato, iguais. Isso mostra que a igualdade das colunas na matriz se mantém no produto .

Resposta

Verdadeiro. Se as primeiras e terceiras colunas de são iguais, então as primeiras e terceiras colunas de também são iguais.

Exercícios relacionados

Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
b) ( ) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de .
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
c) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de .