Nos problemas que seguem, calcule f'(x0).
f(x) = x * |x|, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de no ponto . Estamos lidando com derivadas em Cálculo, e para isso vamos precisar entender como funciona a derivada de funções que envolvem valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto, , pode ser reescrito de forma diferente dependendo do valor de :
Então, a função fica:
Isso nos ajuda a trabalhar com a função de forma mais simples em diferentes intervalos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para , ou seja, para e separadamente.
Para :
Para :
Essas derivadas nos dizem como a função está mudando em cada lado de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos calcular esse limite considerando se aproximando de 0 tanto pelo lado positivo quanto pelo lado negativo.
Para :
Para :

Passo 6

Como os limites pelos lados positivo e negativo de resultam em 0, concluímos que:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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