Nos problemas que seguem, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de
no ponto
. Estamos lidando com derivadas em Cálculo, e para isso vamos precisar entender como funciona a derivada de funções que envolvem valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto,
, pode ser reescrito de forma diferente dependendo do valor de
:
Então, a função
fica:
Isso nos ajuda a trabalhar com a função de forma mais simples em diferentes intervalos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para
, ou seja, para
e
separadamente.
Para
:
Para
:
Essas derivadas nos dizem como a função está mudando em cada lado de
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos calcular esse limite considerando
se aproximando de 0 tanto pelo lado positivo quanto pelo lado negativo.
Para
:
Para
:
Passo 6
Como os limites pelos lados positivo e negativo de
resultam em 0, concluímos que:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
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Verifique se as funções abaixo são homogênea.
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Nos problemas que seguem, calcule
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