Verifique se as funções abaixo são homogênea.
Passo 1
Vamos verificar se a função
é homogênea. Para isso, vamos usar o conceito de funções homogêneas, que envolve escalar as variáveis da função e verificar se a função resultante pode ser expressa como um múltiplo da função original.
Passo 2
Primeiro, aplicamos um fator de escala
às variáveis
e
. Substituímos
por
e
por
na função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 4
Para que a função seja homogênea de grau
, devemos ter:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos comparar os termos de ambos os lados da equação:
- O termo
no lado esquerdo corresponde a no lado direito, o que implica que . - O termo
no lado esquerdo corresponde a no lado direito, o que implicaria que .
Como obtemos valores diferentes para
(1 e 2), não há um único grau de homogeneidade que satisfaça a equação para todos os termos.
Resposta
A função
não é homogênea.
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Nos problemas que seguem, calcule
.
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.