Verifique se as funções abaixo são homogênea.

Passo 1

Vamos verificar se a função é homogênea. Para isso, vamos usar o conceito de funções homogêneas, que envolve escalar as variáveis da função e verificar se a função resultante pode ser expressa como um múltiplo da função original.

Passo 2

Primeiro, aplicamos um fator de escala às variáveis e . Substituímos por e por na função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:

Passo 4

Para que a função seja homogênea de grau , devemos ter:
Substituindo :

Passo 5

Vamos comparar os termos de ambos os lados da equação:
  • O termo no lado esquerdo corresponde a no lado direito, o que implica que .
  • O termo no lado esquerdo corresponde a no lado direito, o que implicaria que .
Como obtemos valores diferentes para (1 e 2), não há um único grau de homogeneidade que satisfaça a equação para todos os termos.

Resposta

A função não é homogênea.

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Nos problemas que seguem, calcule .
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