Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo, especificamente de encontrar a primitiva geral, ou seja, a antiderivada da função dada. O conteúdo envolvido aqui são as regras de integração de funções polinomiais e de potências. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função e aplicar as regras de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo usando a propriedade das potências
:
Calculando os expoentes:
Portanto:
Passo 4
Agora que a função está simplificada, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para
é:
Passo 5
Vamos aplicar essa regra a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, juntando todas as integrações, temos a primitiva geral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para comprovar a resposta, vamos derivar
e ver se retorna a função original
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando tudo:
Ou seja, a derivada de
retorna exatamente
, confirmando que nossa primitiva está correta.
Resposta
A primitiva geral de
é:
Onde
é a constante de integração.
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Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
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