Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo, especificamente de encontrar a primitiva geral, ou seja, a antiderivada da função dada. O conteúdo envolvido aqui são as regras de integração de funções polinomiais e de potências. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que . Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo usando a propriedade das potências :
Calculando os expoentes:
Portanto:

Passo 4

Agora que a função está simplificada, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para é:

Passo 5

Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando todas as integrações, temos a primitiva geral:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para comprovar a resposta, vamos derivar e ver se retorna a função original :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Somando tudo:
Ou seja, a derivada de retorna exatamente , confirmando que nossa primitiva está correta.

Resposta

A primitiva geral de é:
Onde é a constante de integração.

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Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
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