Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral x^2+2 x+1x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração, especificamente com funções racionais. Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão antes de integrá-la. Precisamos dividir cada termo do numerador pelo denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador x^2x^2 + 2xx^2 + 1x^2 = 1 + 2x + 1x^2 :

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral (1 + 2x + 1x^2) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
integral 1 , dx = x + C1
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando o segundo termo:
integral 2x , dx = 2 integral 1x , dx = 2 ln|x| + C2
Aqui, usamos a regra de que .

Passo 6

Integrando o terceiro termo:
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = x^-1-1 + C3 = -1x + C3
Usamos a regra de potência para integração: , onde .

Passo 7

Agora, somamos todas as integrais:
x + 2 ln|x| - 1x + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral x + 2 ln|x| - 1x + C é igual a:

Exercícios relacionados