Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral(3 t^2-raiz5 t+2) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente encontrando a antiderivada de uma função polinomial que inclui diferentes potências de . Para isso, vamos precisar usar as regras básicas de integração, como a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes menores para facilitar a resolução. A integral de uma soma é igual à soma das integrais, então podemos dividir assim:
integral(3 t^2-raiz5 t+2) d t = integral 3 t^2 , dt - integral raiz5 t , dt + integral 2 , dt

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de integral 3 t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3 :
    Usamos a regra da potência, que diz que integral raiz5 t , dt = integral (5 t)^1/2 , dt , onde = 5^1/2 integral t^1/2 , dt = raiz5 cdot t^3/23/2 = 2 raiz53 t^3/2 .
    integral 2 , dt = 2 t
  2. Integral de :
    Primeiro, reescrevemos como . Então, aplicamos a regra da potência:
    Podemos fatorar a constante:
  3. Integral de :
    A integral de uma constante é a constante multiplicada por :

Passo 4

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
t^3 - 2 raiz53 t^3/2 + 2 t + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral t^3 - 2 raiz53 t^3/2 + 2 t + C é igual a:

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