Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral(x^3-2 x^2)(1x-5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve cálculo de integrais e a gente vai precisar usar a distribuição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir os termos dentro dos parênteses. Isso significa multiplicar cada termo de (x^3-2 x^2)(1x-5) = x^3 cdot 1x - x^3 cdot 5 - 2x^2 cdot 1x + (-2x^2) cdot (-5) por cada termo de :

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
x^3 cdot 1x = x^2
- x^3 cdot 5 = -5x^3
-2x^2 cdot 1x = -2x
(-2x^2) cdot (-5) = 10x^2
Então, a expressão simplificada fica:
-5x^3 + x^2 + 10x^2 -2x = -5x^3 + 11x^2 -2x

Passo 4

Com a expressão simplificada, vamos integrar cada termo separadamente. A antiderivada de integral (-5x^3 + 11x^2 -2x) dx = -5 cdot x^44 + 11 cdot x^33 -2 cdot x^22 + C é - 54x^4 + 113x^3 - x^2 + C , então aplicamos isso a cada termo:
Simplificando:

Passo 5

Para comprovar a resposta, vamos derivar a antiderivada que encontramos:
ddx (- 54x^4 + 113x^3 - x^2 + C) = -5x^3 + 11x^2 -2x
Isso bate certinho com a expressão original, confirmando que a integração está correta.

Resposta

A integral calculada é:
- 54x^4 + 113x^3 - x^2 + C

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