Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
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Passo 1
Vamos analisar a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais impróprias e convergência de integrais. Precisamos verificar se essa integral converge (isto é, se tem um valor finito) quando o limite inferior de integração se aproxima de 0, já que a função
se torna muito grande perto de
.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
tem uma descontinuidade em
, pois tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Isso significa que a integral é imprópria no limite inferior. Para verificar se a integral é convergente, vamos reescrevê-la como um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral indefinida de
:
Para integrar
, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de
:
O termo
tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Portanto, o limite da integral é infinito.
Resposta
A integral
é divergente.
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
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