Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral-2^2 2 x d x(x^2-1)^1 / 3.

Passo 1

Fala aí! Então, a gente tem a seguinte integral para resolver:
integral-2^2 2x , dx(x^2-1)^1/3
Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde precisamos determinar se a integral converge (isto é, se ela tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor. Para isso, vamos analisar os pontos onde a função pode ter problemas, como descontinuidades ou comportamentos extremos, e então verificar a convergência antes de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função dentro da integral pode causar problemas. Olhando para o denominador:
(x^2-1)^1/3
Aqui, o denominador será zero quando , ou seja, quando ou . Isso indica que a função tem descontinuidades nesses pontos dentro do intervalo de integração . Portanto, precisamos dividir a integral nesses pontos para analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos dividir a integral em três partes:
  1. De integral-2^2 2x , dx(x^2-1)^1/3 = integral-2^-1 2x , dx(x^2-1)^1/3 + integral-1^1 2x , dx(x^2-1)^1/3 + integral1^2 2x , dx(x^2-1)^1/3 a
  2. De a
  3. De a
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais.

Passo 4

Observamos que a função é uma função ímpar, ou seja, . Isso acontece porque o numerador é ímpar e o denominador é par (já que é par).
Em integrais de funções ímpares simétricas em torno da origem, o resultado total é zero. Mas precisamos ter certeza de que cada parte da integral converge.

Passo 5

Vamos analisar as integrais de a e de a . Como a função é ímpar, essas duas integrais serão opostas e, portanto, se uma converge para um valor , a outra converge para , cancelando-se mutuamente.
A parte do meio, de a , também será zero devido à simetria da função ímpar.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

Exercícios relacionados

Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral0^4 1x^4 d x.
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.
Identifique as funções de oferta e de demanda
p = 100 - 5 q (0 <= q <= 20)
Identifique as funções de oferta e de demanda
p = q² - 100 (q ≥ 10)