Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Fala aí! Então, a gente tem a seguinte integral para resolver:
Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde precisamos determinar se a integral converge (isto é, se ela tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor. Para isso, vamos analisar os pontos onde a função pode ter problemas, como descontinuidades ou comportamentos extremos, e então verificar a convergência antes de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função dentro da integral pode causar problemas. Olhando para o denominador:
Aqui, o denominador será zero quando
, ou seja, quando
ou
. Isso indica que a função tem descontinuidades nesses pontos dentro do intervalo de integração
. Portanto, precisamos dividir a integral nesses pontos para analisar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos dividir a integral em três partes:
- De
a - De
a - De
a
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais.
Passo 4
Observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. Isso acontece porque o numerador
é ímpar e o denominador
é par (já que
é par).
Em integrais de funções ímpares simétricas em torno da origem, o resultado total é zero. Mas precisamos ter certeza de que cada parte da integral converge.
Passo 5
Vamos analisar as integrais de
a
e de
a
. Como a função é ímpar, essas duas integrais serão opostas e, portanto, se uma converge para um valor
, a outra converge para
, cancelando-se mutuamente.
A parte do meio, de
a
, também será zero devido à simetria da função ímpar.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.
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Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
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Identifique as funções de oferta e de demanda
Identifique as funções de oferta e de demanda