Sejam
e
dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores,
e
, que têm o mesmo comprimento. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, principalmente a ideia de comprimento de vetor e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. O comprimento de um vetor
, que a gente denota por
, pode ser encontrado usando o produto escalar:
Então, para encontrar o comprimento dos vetores
e
, precisamos calcular o produto escalar de cada um consigo mesmo.
Passo 3
Vamos começar calculando o comprimento de
:
Expandindo o produto escalar:
Como
e
têm o mesmo comprimento, vamos chamar esse comprimento de
, ou seja,
. Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento de
da mesma forma:
Expandindo o produto escalar:
Novamente, usando
e sabendo que o produto escalar é comutativo (
):
Passo 5
Observamos que as expressões que encontramos para
e
são exatamente iguais:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento.