Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números a e b, os vetores a u+b v e a v+b u têm o mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores, u e v, que têm o mesmo comprimento. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números a e b, os vetores a u + b v e a v + b u têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, principalmente a ideia de comprimento de vetor e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. O comprimento de um vetor w, que a gente denota por |w|, pode ser encontrado usando o produto escalar:
|w| = raizw cdot w
Então, para encontrar o comprimento dos vetores a u + b v e a v + b u, precisamos calcular o produto escalar de cada um consigo mesmo.

Passo 3

Vamos começar calculando o comprimento de a u + b v:
|a u + b v| = raiz(a u + b v) cdot (a u + b v)
Expandindo o produto escalar:
(a u + b v) cdot (a u + b v) = a^2 (u cdot u) + 2ab (u cdot v) + b^2 (v cdot v)
Como u e v têm o mesmo comprimento, vamos chamar esse comprimento de c, ou seja, |u| = |v| = c. Sabemos que u cdot u = |u|^2 = c^2 e v cdot v = c^2. Então:
a^2 c^2 + 2ab (u cdot v) + b^2 c^2 = c^2 (a^2 + b^2) + 2ab (u cdot v)

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento de a v + b u da mesma forma:
|a v + b u| = raiz(a v + b u) cdot (a v + b u)
Expandindo o produto escalar:
(a v + b u) cdot (a v + b u) = a^2 (v cdot v) + 2ab (v cdot u) + b^2 (u cdot u)
Novamente, usando |u| = |v| = c e sabendo que o produto escalar é comutativo ( u cdot v = v cdot u):
a^2 c^2 + 2ab (v cdot u) + b^2 c^2 = c^2 (a^2 + b^2) + 2ab (u cdot v)

Passo 5

Observamos que as expressões que encontramos para (a u + b v) cdot (a u + b v) e (a v + b u) cdot (a v + b u) são exatamente iguais:
c^2 (a^2 + b^2) + 2ab (u cdot v)
Isso significa que:
|a u + b v| = |a v + b u|

Resposta

Portanto, para quaisquer números a e b, os vetores a u + b v e a v + b u têm o mesmo comprimento.

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