Sejam e dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números e , os vetores e têm o mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores, e , que têm o mesmo comprimento. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números e , os vetores e têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, principalmente a ideia de comprimento de vetor e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. O comprimento de um vetor , que a gente denota por , pode ser encontrado usando o produto escalar:
Então, para encontrar o comprimento dos vetores e , precisamos calcular o produto escalar de cada um consigo mesmo.

Passo 3

Vamos começar calculando o comprimento de :
Expandindo o produto escalar:
Como e têm o mesmo comprimento, vamos chamar esse comprimento de , ou seja, . Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento de da mesma forma:
Expandindo o produto escalar:
Novamente, usando e sabendo que o produto escalar é comutativo ( ):

Passo 5

Observamos que as expressões que encontramos para e são exatamente iguais:
Isso significa que:

Resposta

Portanto, para quaisquer números e , os vetores e têm o mesmo comprimento.

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c) Conclua que é solução do (P.V.I.) original.
Em cada parte, encontre matrizes que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial
(b)
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