Sejam
e
dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores,
e
, que têm o mesmo comprimento. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, principalmente a ideia de comprimento de vetor e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. O comprimento de um vetor
, que a gente denota por
, pode ser encontrado usando o produto escalar:
Então, para encontrar o comprimento dos vetores
e
, precisamos calcular o produto escalar de cada um consigo mesmo.
Passo 3
Vamos começar calculando o comprimento de
:
Expandindo o produto escalar:
Como
e
têm o mesmo comprimento, vamos chamar esse comprimento de
, ou seja,
. Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento de
da mesma forma:
Expandindo o produto escalar:
Novamente, usando
e sabendo que o produto escalar é comutativo (
):
Passo 5
Observamos que as expressões que encontramos para
e
são exatamente iguais:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento.
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[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum
, em vez de
. Considere o seguinte (P.V.I.)
c) Conclua que
é solução do (P.V.I.) original.
Em cada parte, encontre matrizes
que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial
(b)
(b)
O subconjunto
é subespaço de
, onde
é dado por
Classifique e resolva os sistemas lineares: