In Problems
solve the given differential equation by undetermined coefficients
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse problema está na área de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes, e vamos usar o método dos coeficientes não determinados para encontrar a solução. Precisamos achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o lado direito é a soma de uma constante
e um termo exponencial
.
Primeiro, para o termo constante
, assumimos uma solução particular constante
.
Para o termo
, como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação. Então, assumimos uma solução da forma
.
Portanto, nossa solução particular proposta é:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original e resolver para
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso reduz para:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para o termo constante:
Para o termo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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