In Problems solve the given differential equation by undetermined coefficients

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse problema está na área de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes, e vamos usar o método dos coeficientes não determinados para encontrar a solução. Precisamos achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito é a soma de uma constante e um termo exponencial .
Primeiro, para o termo constante , assumimos uma solução particular constante .
Para o termo , como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar duplicação. Então, assumimos uma solução da forma .
Portanto, nossa solução particular proposta é:

Passo 4

Vamos substituir na equação original e resolver para e .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso reduz para:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para o termo constante:
Para o termo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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