Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
f(x) = 1 + |x|, g(x) = 4 - |x|/2;

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, precisaremos entender como funcionam as funções absolutas e utilizar a integração para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Então, igualamos as duas funções:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
  1. Primeiro, somamos em ambos os lados:
  1. Somamos os termos de :
  1. Subtraímos 1 de ambos os lados:
  1. Multiplicamos ambos os lados por :
Isso nos dá ou .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em e , podemos determinar a área entre elas no intervalo de a . Observando as funções, percebemos que elas são simétricas em relação ao eixo , então podemos calcular a área de a e multiplicar por 2 para facilitar o cálculo.

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença das funções no intervalo de interesse. Então, temos:
Á
Substituindo e :
Á

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
  1. Integramos termo a termo:
  1. Avaliamos de a :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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