Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
;
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, precisaremos entender como funcionam as funções absolutas e utilizar a integração para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
. Então, igualamos as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
- Primeiro, somamos
em ambos os lados:
- Somamos os termos de
:
- Subtraímos 1 de ambos os lados:
- Multiplicamos ambos os lados por
:
Isso nos dá
ou
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em
e
, podemos determinar a área entre elas no intervalo de
a
. Observando as funções, percebemos que elas são simétricas em relação ao eixo
, então podemos calcular a área de
a
e multiplicar por 2 para facilitar o cálculo.
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença das funções no intervalo de interesse. Então, temos:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
- Integramos termo a termo:
- Avaliamos de
a :
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.