Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
f(x) = x^2, g(x) = 4x + 5 se x <= 1, g(x) = 9 se x > 1

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas e , onde é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração para encontrar a área entre duas curvas. Precisamos determinar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas no intervalo apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde .
Para :
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Mas lembrando que essa parte da função é válida para . Assim, apenas está nesse intervalo.
Para :
Nesse caso, apenas está no intervalo .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos dividir o cálculo da área em duas partes, com base na definição de :
  1. De a , .
  2. De a , .
Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Área de a :
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Aqui, e . Então:
Á
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Á
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:
Á

Passo 5

Área de a :
Aqui, e . Então:
Á
Integrando termo a termo:
Então:
Á
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:
Á

Resposta

A área total da região limitada pelas curvas é:
ÁÁÁ

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