Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas
e
, onde
é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração para encontrar a área entre duas curvas. Precisamos determinar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas no intervalo apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde
.
Para
:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Mas lembrando que essa parte da função
é válida para
. Assim, apenas
está nesse intervalo.
Para
:
Nesse caso, apenas
está no intervalo
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o cálculo da área em duas partes, com base na definição de
:
- De
a , . - De
a , .
Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente e depois somá-las.
Passo 4
Área de
a
:
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui,
e
. Então:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Passo 5
Área de
a
:
Aqui,
e
. Então:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
A área total da região limitada pelas curvas é: