Proceda como de igual forma com o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com um valor inicial:
Esse tipo de problema se chama Problema de Valor Inicial (PVI) e está dentro do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essa equação para encontrar a função que satisfaz as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro o que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Essa é uma equação diferencial não-linear devido ao termo .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos tentar separá-la ou usar uma substituição que simplifique. No entanto, essa equação não é facilmente separável e não se encaixa nas formas padrão que conhecemos para resolver diretamente.

Passo 4

Uma estratégia útil para esse tipo de equação é buscar uma solução implícita. Podemos tentar reorganizar os termos para preparar a equação para integração:
Ainda assim, essa forma não facilita muito a integração direta.

Passo 5

Outra abordagem é tentar encontrar uma solução aproximada, especialmente se não conseguirmos uma expressão exata. Podemos usar métodos numéricos ou séries para aproximar , mas isso está além do escopo atual.

Passo 6

Portanto, para esse problema específico, não conseguimos encontrar uma solução explícita simples usando os métodos básicos de equações diferenciais. A equação diferencial com a condição inicial não possui uma solução em termos de funções elementares conhecidas.

Resposta

Não é possível encontrar uma solução explícita em termos de funções elementares para a equação diferencial dada com a condição inicial fornecida.

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Use a Regra da Cadeia para achar ou .
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d)
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
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