Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
z = tg^(-1)(y / x), x = e^(t), y = 1 - e^(-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Aqui, é definido como , onde e . Vamos precisar usar derivadas de funções compostas e entender como aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de forma mais clara:
Como é uma constante ( ), nossa função depende de , que por sua vez depende de .

Passo 3

Para encontrar , vamos aplicar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos diz que:
Então, precisamos calcular e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:
Aqui, , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
A derivada de em relação a é simplesmente:

Passo 6

Agora que temos e , podemos multiplicar essas duas derivadas conforme a Regra da Cadeia:

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:
Essa é a expressão final para a derivada de em relação a .

Resposta

A derivada de em relação a é:

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