Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de reparametrização pelo comprimento de arco. A gente tem uma curva dada por
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de comprimento de arco e como usá-lo para reparametrizar uma curva. Vamos precisar calcular a derivada da curva, encontrar a função de comprimento de arco e inverter essa função para obter a nova parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso vai nos dar a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada, que representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a
.
Passo 4
Em seguida, integramos a magnitude da derivada para obter a função de comprimento de arco
. Como
é constante, a integral fica fácil.
Como queremos que
, o constante
. Então:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Para isso, resolvemos a equação
para
.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão original da curva
para obter a reparametrização pelo comprimento de arco.
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Proceda como de igual forma com o PVI:
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Use integração por partes para resolver as integrais
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: