Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de reparametrização pelo comprimento de arco. A gente tem uma curva dada por . O conteúdo aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de comprimento de arco e como usá-lo para reparametrizar uma curva. Vamos precisar calcular a derivada da curva, encontrar a função de comprimento de arco e inverter essa função para obter a nova parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso vai nos dar a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada, que representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a .

Passo 4

Em seguida, integramos a magnitude da derivada para obter a função de comprimento de arco . Como é constante, a integral fica fácil.
Como queremos que , o constante . Então:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Para isso, resolvemos a equação para .

Passo 6

Finalmente, substituímos na expressão original da curva para obter a reparametrização pelo comprimento de arco.

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco é:

Exercícios relacionados

Proceda como de igual forma com o PVI:
Use a Regra da Cadeia para achar ou .
Use integração por partes para resolver as integrais
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: