Em um processo de fabricação de pequenas esferas de vidro
) de 3 mm de diâmetro, as esferas são suspensas em um fluxo de ar direcionado para cima que se encontra a
e mantém um coeficiente de convecção
. Se as esferas estiverem a uma temperatura inicial
, quanto tempo elas devem ficar suspensas para atingir uma temperatura central de
? Qual será a temperatura correspondente na superfície? (R:
,
).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos lidando com transferência de calor no contexto da fabricação de esferas de vidro. Temos esferas de 3 mm de diâmetro que começam a uma temperatura inicial de 477°C e são colocadas em um fluxo de ar a 15°C. Queremos descobrir quanto tempo elas levam para que a temperatura no centro alcance 80°C e qual será a temperatura na superfície nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução, além de algumas fórmulas matemáticas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o resfriamento das esferas ocorre por convecção na superfície e por condução para o interior da esfera. A transferência de calor por convecção pode ser descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície do objeto e o ambiente.
A fórmula da Lei de Resfriamento de Newton é:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor, -
é o coeficiente de convecção, -
é a área superficial da esfera, -
é a temperatura na superfície da esfera, -
é a temperatura do ambiente.
Passo 3
Agora, para o interior da esfera, usamos a equação de condução de calor para esferas, que nos ajuda a relacionar a taxa de mudança de temperatura no centro com a transferência de calor na superfície. A equação básica é:
Onde:
-
é a densidade do material, -
é a capacidade térmica específica, -
é o volume da esfera, -
é a taxa de variação da temperatura com o tempo.
Passo 4
Vamos calcular a área superficial
e o volume
da esfera. Para uma esfera de diâmetro 3 mm (ou raio
mm = 0.0015 m):
Passo 5
Substituindo os valores na equação de condução de calor:
Simplificando:
Passo 6
Assumindo que a temperatura na superfície
está próxima da temperatura do centro
, podemos simplificar a equação para:
Passo 7
Esta é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Aplicando a condição inicial
°C:
Então, a solução da equação é:
Exponentiando ambos os lados:
Passo 8
Queremos que
°C. Vamos substituir na equação e resolver para
:
Subtraindo 15 de ambos os lados:
Dividindo por 462:
Aplicando o logaritmo natural:
Resposta
O tempo necessário para as esferas atingirem uma temperatura central de 80°C é aproximadamente 4,31 segundos. A temperatura na superfície será cerca de 67,8°C.
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