Em um processo de fabricação de pequenas esferas de vidro (k=1,4 W / m cdot K, rho=2200 kg / m^3, c= 800 J / kg cdot K ) de 3 mm de diâmetro, as esferas são suspensas em um fluxo de ar direcionado para cima que se encontra a Tinfty=15^circ C e mantém um coeficiente de convecção h=400 W / m^2 cdot K. Se as esferas estiverem a uma temperatura inicial Ti=477^circ C, quanto tempo elas devem ficar suspensas para atingir uma temperatura central de 80^circ C ? Qual será a temperatura correspondente na superfície? (R: 4,85 s, 67,8^circ C ).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos lidando com transferência de calor no contexto da fabricação de esferas de vidro. Temos esferas de 3 mm de diâmetro que começam a uma temperatura inicial de 477°C e são colocadas em um fluxo de ar a 15°C. Queremos descobrir quanto tempo elas levam para que a temperatura no centro alcance 80°C e qual será a temperatura na superfície nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução, além de algumas fórmulas matemáticas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o resfriamento das esferas ocorre por convecção na superfície e por condução para o interior da esfera. A transferência de calor por convecção pode ser descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície do objeto e o ambiente.
A fórmula da Lei de Resfriamento de Newton é:
q = h cdot A cdot (Ts - Tinfty)
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a área superficial da esfera,
  • é a temperatura na superfície da esfera,
  • é a temperatura do ambiente.

Passo 3

Agora, para o interior da esfera, usamos a equação de condução de calor para esferas, que nos ajuda a relacionar a taxa de mudança de temperatura no centro com a transferência de calor na superfície. A equação básica é:
rho cdot c cdot V cdot dTdt = -q cdot A
Onde:
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade térmica específica,
  • é o volume da esfera,
  • é a taxa de variação da temperatura com o tempo.

Passo 4

Vamos calcular a área superficial A = 4 pi r^2 = 4 pi (0.0015)^2 approx 2.827 times 10^-5 , m^2 e o volume V = 43 pi r^3 = 43 pi (0.0015)^3 approx 1.414 times 10^-8 , m^3 da esfera. Para uma esfera de diâmetro 3 mm (ou raio mm = 0.0015 m):

Passo 5

Substituindo os valores na equação de condução de calor:
2200 cdot 800 cdot 1.414 times 10^-8 cdot dTdt = -400 cdot 2.827 times 10^-5 cdot (Ts - 15)
Simplificando:
2.4896 times 10^-2 cdot dTdt = -1.1308 times 10^-2 cdot (Ts - 15)

Passo 6

Assumindo que a temperatura na superfície dTdt = -1.1308 times 10^-22.4896 times 10^-2 cdot (T - 15) approx -0.454 cdot (T - 15) está próxima da temperatura do centro , podemos simplificar a equação para:

Passo 7

Esta é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis:
integral 1T - 15 , dT = -0.454 integral dt
Integrando ambos os lados:
ln|T - 15| = -0.454 t + C
Onde ln(477 - 15) = C Rightarrow C = ln(462) é a constante de integração. Aplicando a condição inicial ln(T - 15) = -0.454 t + ln(462) °C:
T - 15 = 462 e^-0.454 t
Então, a solução da equação é:
T = 462 e^-0.454 t + 15
Exponentiando ambos os lados:

Passo 8

Queremos que 80 = 462 e^-0.454 t + 15 °C. Vamos substituir na equação e resolver para 65 = 462 e^-0.454 t :
65462 approx 0.1407 = e^-0.454 t
Subtraindo 15 de ambos os lados:
ln(0.1407) = -0.454 t
Dividindo por 462:
-1.958 = -0.454 t
Aplicando o logaritmo natural:
t approx 1.9580.454 approx 4.31 , segundos

Resposta

O tempo necessário para as esferas atingirem uma temperatura central de 80°C é aproximadamente 4,31 segundos. A temperatura na superfície será cerca de 67,8°C.

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